Capire identità ed equazioni è fondamentale in algebra. In questa guida vediamo cos’è un’identità matematica, come si distingue da un’equazione, quali errori evitare e tanti esempi svolti. Keyword coperte: identità equazioni, identità matematica, differenza tra identità ed equazione, per ogni x appartenente a ℝ.
Cos’è un’identità in matematica
Un’identità è un’uguaglianza sempre vera per ogni valore delle variabili nel dominio in cui ha senso. In parole: è vera “per ogni x appartenente a ℝ”, tenendo conto di eventuali condizioni di esistenza.
Esempi di identità (forma testuale compatibile):
- (x − y)^2 = x^2 − 2xy + y^2
- a(b + c) = ab + ac
- (x + 1)/(x − 2) = 1 + 3/(x − 2) con condizione: x != 2
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Cos’è un’equazione
Un’equazione è un’uguaglianza che risulta vera solo per alcuni valori, detti soluzioni.
Tipi:
- determinata: ha una o più soluzioni (es. 2x − 6 = 0 → x = 3)
- impossibile: non ha soluzioni (es. 2x + 1 = 2x − 3 → 1 = −3, falso)
- indeterminata: vera per tutti i valori ammessi (es. 3(x − 2) = 3x − 6 → 0 = 0)
Differenza tra identità ed equazione
- identità: sempre vera nel dominio, insieme soluzione = dominio
- equazione: vera solo per alcuni valori, insieme soluzione ⊂ dominio
- esempio:
- identità → (x − 3)(x + 3) = x^2 − 9
- equazione → x^2 − 9 = 0 → x = ±3
Identità come equazioni ed equazioni senza incognite
- un’identità può essere vista come un’equazione indeterminata (x = x).
- durante le risoluzioni si può arrivare a:
- 0 = 0 → indeterminata
- 1 = 2 → impossibile
Come riconoscere se un’uguaglianza è un’identità
- definisci il dominio (no divisioni per 0, no radici pari di numeri negativi, ecc.)
- semplifica i membri con proprietà note (distributiva, raccoglimento, prodotti notevoli)
- confronta i membri finali
- evita di “dimostrare” provando solo pochi numeri
Calcolatore identità ed equazioni
Inserisci i due membri. Usa solo ASCII: ^ per potenze, sin(x), cos(x), tan(x), sqrt(x), ln(x), log(x) (base 10), abs(x). Costanti: pi, e.
Risultato
Dettagli
Attenzione: i test numerici non sostituiscono una dimostrazione. Se troviamo tutte le prove vere nell’intervallo scelto, parliamo di “probabile identità nel dominio testato”.
Esercizi interattivi ed esempi svolti passo passo
Esercizi interattivi su identità ed equazioni
Classifica ogni uguaglianza: identità, determinata o impossibile. Sintassi ASCII: usa ^ per potenze, frazioni come (a)/(b).
Suggerimento: se, semplificando, ottieni 0 = 0 allora è identità; se ottieni 1 = 2 è impossibile.
Esempio 1. (x − 3)(x + 3) = x^2 − 9
Sviluppo a sinistra: x^2 + 3x − 3x − 9 = x^2 − 9. Coincidono per ogni x in R → identità.
Esempio 2. (x + 1)/(x − 2) = 1 + 3/(x − 2) con x != 2
Somma a destra: (x − 2 + 3)/(x − 2) = (x + 1)/(x − 2). Coincidono per ogni x con x != 2 → identità.
Esempio 3. x^2 − 9 = 0
Fattorizza: (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 oppure x = −3 → equazione determinata.
Esempio 4. 2(x + 1) = 2x + 2
Riduci: 2x + 2 = 2x + 2 → 0 = 0 → indeterminata.
Esempio 5. 2(x + 1) = 2x + 3
Riduci: 2x + 2 = 2x + 3 → 2 = 3 → impossibile.
Errori comuni da evitare
- dimenticare le condizioni di esistenza quando compaiono frazioni, radici o logaritmi
- confondere prove numeriche parziali con una dimostrazione
- dividere per un’espressione che può valere 0 senza dichiararlo
- scambiare identità ed equazioni nei passaggi finali (0 = 0 vs 1 = 2)
Esercizi proposti
- dimostra che a^2 − b^2 = (a − b)(a + b) è un’identità
- verifica se 2x/(x − 1) = 2 + 2/(x − 1) è un’identità e indica il dominio
- classifica 3x − 9 = 3(x − 3)
- risolvi 5(x − 1) = 5x − 7
Soluzioni rapide:
1) identità. 2) identità per x != 1. 3) identità. 4) impossibile.
Conclusione
Un’identità è vera per ogni x appartenente a ℝ nel dominio ammesso, un’equazione è vera solo per alcuni valori chiamati soluzioni.
