mcm e MCD: esempi, esercizi e calcolo di Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore

I concetti di Minimo Comune Multiplo (mcm) e Massimo Comun Divisore (MCD) possono rappresentare un vantaggio per te durante i test di ammissione a risposta multipla 💯

Infatti, l’argomento non è particolarmente complicato, ma è utile comprendere e approfondire l’applicazione di questi concetti a problemi “pratici“. A volte le domande sono formulate in modo da testare sia la conoscenza, sia l’applicazione a scenari diversi 🤔

Inoltre, nei test a crocette anche la gestione del tempo è cruciale. Quindi utilizzare metodi lunghi o poco efficienti per calcolare mcm o MCD può penalizzarti nel punteggio finale 📉
Non dimenticare che le opzioni di risposta spesso includono valori che sono comuni errori di calcolo e possono portarti a scegliere la risposta sbagliata.

Nei prossimi scroll vediamo alcuni esempi di mcm e MCD, affrontiamo problemi ed esercizi e capiamo i migliori metodi per calcolarli 🧠

mcm e MCD: cosa sono e come si calcolano

Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore sono concetti fondamentali in matematica, specialmente quando si lavora con i numeri interi 🔢

Il mcm di due o più numeri è il più piccolo numero che è multiplo di tutti questi numeri.

Un multiplo di un numero è il risultato della moltiplicazione di quel numero per un intero. Per intenderci, quando studiamo le tabelline, in realtà, stiamo imparando i multipli dei numeri 📚

Come si calcola il mcm

Vediamo come calcolare il Minimo Comune Multiplo. Per esempio, consideriamo i numeri 4 e 5.
I multipli di 4 sono 4, 8, 12, 16, 20 e così via, i multipli di 5 sono 5, 10, 15, 20, ecc 🧮
Il minimo comune multiplo di 4 e 5 è 20 perché è il numero più piccolo che appare in entrambe le liste di multipli.

Il mcm è spesso usato per trovare un denominatore comune quando si sommano, si sottraggono, si moltiplicano o si dividono frazioni. Per esempio, se dobbiamo sommare 1/4​ e 1/6​, possiamo usare il mcm di 4 e 6 (che è 12) per convertire entrambe le frazioni in frazioni con lo stesso denominatore.

Per trovare il mcm di 4 e 6, possiamo elencare i multipli di ciascun numero e poi identificare il più piccolo multiplo che hanno in comune.

• I multipli di 4 sono: 4, 8, 12, 16, 20, 24 …
• I multipli di 6 sono: 6, 12, 18, 24, 30 …

Il più piccolo numero che è presente in entrambe le liste è 12 🧠

Questo metodo è semplice, ma può essere lungo se i numeri sono grandi o non hanno multipli comuni bassi.

Calcola il mcm con la scomposizione in fattori primi

Un metodo alternativo per calcolare il minimo comune multiplo è la scomposizione in fattori primi ✍️

Esso consiste nel dividere un numero in un insieme di numeri primi moltiplicati tra loro.
I numeri primi sono quei numeri maggiori di uno che hanno solo due divisori: uno e se stessi ➗

Ecco i passaggi per scomporre un numero in fattori primi:

1. Inizia con il più piccolo numero primo, il 2:
   • Dividi il numero per 2. Se è divisibile, scrivi 2 come uno dei suoi fattori primi.
   • Continua a dividere il risultato per 2 fino a quando non è più divisibile ❌
2. Passa al numero primo successivo (3, 5, 7, ecc.)
   • Ripeti il processo di divisione con il numero primo successivo.
   • Ogni volta che il numero non è più divisibile per un dato primo, passa al primo successivo 🔢

Esempio: Scomponiamo 60 in fattori primi.

• 60 ÷ 2 = 30 (2 è un fattore primo) ✅
• 30 ÷ 2 = 15 (2 è ancora un fattore) ✅
• 15 non è divisibile per 2, quindi passiamo al numero primo successivo, che è 3 🔢
• 15 ÷ 3 = 5 (3 è un fattore primo) ✅
• 5 è un numero primo, quindi è l’ultimo fattore 💯

Quindi, la scomposizione in fattori primi di 60 è 2 x 2 x 3 x 5 👉 2² x 3 x 5.

Facciamo un altro esempio e mettiamo caso tu voglia trovare il mcm di 60 (2² x 3 x 5) e 45 (3² x 5).
Prendi i fattori 2, 3 e 5 con gli esponenti più alti (2² da 60 e 3² da 45).
Quindi, mcm = 2² x 3² x 5 = 4 x 9 x 5 = 180 💯

Come si calcola il MCD

Il MCD di due o più numeri è il più grande numero che divide tutti questi numeri senza lasciare resto.

I divisori sono sostanzialmente il processo inverso delle tabelline ➗

Per esempio, consideriamo i numeri 8 e 12:

• I divisori di 8 sono 1, 2, 4, 8 …
• I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 …

Il Massimo Comun Divisore di 8 e 12 è 4 perché è il più grande numero che appare in entrambe le liste di divisori da come resto zero ✅

Il MCD viene usato per semplificare le frazioni riducendole alla loro forma più semplice. Ad esempio, per semplificare la frazione 8/12​, troviamo il MCD di 8 e 12 (che è 4) e dividiamo sia il numeratore sia il denominatore per 4, ottenendo 2/3​.

Calcola il MCD con l’Algoritmo di Euclide

L’algoritmo di Euclide è un metodo efficiente per trovare il Massimo Comun Divisore (MCD) di due numeri 📚

Vediamo come trovare il MCD con questo algoritmo:

1. Dividi il numero più grande per il più piccolo:
   • Prendi due numeri, dividi il maggiore per il minore e prendi nota del resto ✍️
2. Sostituisci e ripeti:
   • Sostituisci il numero maggiore con il minore e il numero minore con il resto della divisione precedente ➗
3. Continua fino a quando il resto non è zero:
   • Continua a ripetere il processo di divisione e sostituzione finché il resto non diventa zero 0️⃣
4. Il MCD è l’ultimo divisore utilizzato prima che il resto diventi zero ✅

Esempio: Troviamo il MCD di 48 e 18.

• Dividiamo 48 per 18: 48 ÷ 18 = 2 con resto 12 ➗
• Ora dividiamo 18 per 12: 18 ÷ 12 = 1 con resto 6 ✍️
• Poi dividiamo 12 per 6: 12 ÷ 6 = 2 con resto 0 💯

Poiché il resto è ora 0, l’ultimo divisore (6) è il MCD di 48 e 18.

In realtà, come per il mcm, anche per il MCD puoi utilizzare la scomposizione in fattori primi.

Per trovare il MCD di due o più numeri bisogna:

• Scomporli in fattori primi 🤔
• Prendere i fattori comuni a tutte le scomposizioni ✍️
• Scegliere l’esponente più basso che appare in qualsiasi scomposizione 🔢
• Moltiplica questi fattori per ottenere il MCD 💯

Esempio: Se vuoi trovare il MCD di 60 (2² x 3 x 5) e 48 (2⁴ x 3), i fattori comuni sono 2 e 3, con i minori esponenti 2 e 1 (da 60). Quindi, MCD = 2² x 3 👉 4 x 3 = 12 ✅

mcm e MCD in algebra

Minimo Comune Multiplo (mcm) e Massimo Comun Divisore (MCD) sono particolarmente utili in algebra e possono semplificare notevolmente il lavoro con espressioni complesse.

Capire come applicare mcm e MCD a monomi e polinomi aiuta a sviluppare una solida comprensione algebrica 🧠
Quando sommi o sottrai frazioni algebriche (che sono come frazioni ma con polinomi al posto dei numeri), il mcm dei denominatori viene usato per trovare un denominatore comune. Ad esempio, per sommare 1/x²​ e 1/x³​, trovi il mcm di x² e x³ (che è x³) e usi questo come denominatore comune.

Invece, quando semplifichi frazioni algebriche, puoi usare il MCD di numeratore e denominatore per ridurre la frazione alla sua forma più semplice ✅
Ad esempio, per semplificare x²y/xy²​, trovi il MCD di x²y e xy²​ (che è xy) e dividi sia il numeratore sia il denominatore per questo MCD.

Inoltre, il MCD viene utilizzato nella fattorizzazione di polinomi.
Se un polinomio ha termini che condividono un fattore comune, puoi estrarre questo fattore usando il MCD 📚
Ad esempio, nel polinomio 4x³ + 6x², il MCD dei termini è 2x², quindi il polinomio può essere riscritto come 2x²(2x+3).

Vediamo due casi pratici che mostrano come utilizzare il Minimo Comune Multiplo (mcm) e il Massimo Comun Divisore (MCD) in problemi che coinvolgono monomi e polinomi.

Uso del mcm nelle frazioni algebriche

Problema: Somma 2/x² e 3/x³

Soluzione: Troviamo il mcm dei denominatori x² e x³.

Il mcm è x³. Convertiamo entrambe le frazioni per avere x³ come denominatore comune:

• 2/x² diventa 2x/x³ (👉 2*x/x² * x);
• 3/x³ rimane invariata.

Sommiamo le frazioni: 2x/x³ + 3/x³ = (2x + 3)/x³. Quindi, la somma di 2/x² e 3/x³ è (2x + 3)/x³ ✅

Uso del MCD nella fattorizzazione di polinomi

Problema: Fattorizza il polinomio 6x²y – 9xy² + 15x³.

Soluzione: Troviamo il MCD dei tre termini 6x²y, 9xy² e 15x³.

Il MCD è 3x. Fattorizziamo il polinomio usando il MCD 3x 👉 6x²y – 9xy² + 15x³ 👉 3x(2xy – 3y² + 5x²).

Quindi, il polinomio fattorizzato è 3x(2xy – 3y² + 5x²) ✅

Ovviamente questi sono solo alcuni esempi, proviamo a mettere in pratica quanto visto fino a ora.

mcm e MCD: esercizi e formule

Conoscere metodi rapidi e precisi per trovare mcm e MCD, come l’uso della scomposizione in fattori primi, può risparmiare tempo durante un test. Esercitarsi con diversi tipi di problemi aiuta a rafforzare la comprensione e la velocità.
Nei prossimi scroll, ci mettiamo alla prova con due quesiti 🧠

Esercizio con multipli e divisori

Un gioco ha le seguenti regole: se un numero è divisibile per 3 vale 2 punti.
Se è divisibile per 7, vale 3 punti. In base a tali regole, quale dei seguenti numeri vale di più?

• 153
• 91
• 287
• 168
• 117

Per un metodo rapido possiamo concentrarci sul mcm di 3 e 7, dato che i punti più alti sono assegnati ai numeri divisibili per entrambi.

In questo caso, il mcm di 3 e 7 è 21. Questo significa che ogni multiplo di 21 sarà divisibile sia per 3 sia per 7 e quindi riceverà il punteggio massimo nel gioco.

Quindi:

1. Controlla la divisibilità per 21 – se un numero è divisibile per 21, allora sicuramente è divisibile sia per 3 sia per 7.
   Per esempio, 168 è divisibile per 21 (168 = 21 * 8), quindi guadagna 5 punti (2 per la divisibilità per 3 e 3 per la divisibilità per 7).
2. Controlla individualmente per 3 e 7 – se un numero non è divisibile per 21, allora controlla la divisibilità per 3 e per 7 separatamente.
   Per esempio, 153 è divisibile per 3 ma non per 7, quindi guadagna solo 2 punti.

Applicando questo metodo ai numeri dati:

• 153 – divisibile solo per 3 (2 punti).
• 91 – divisibile solo per 7 (3 punti).
• 287 – divisibile solo per 7 (3 punti).
• 168 – divisibile per 21, quindi per entrambi 3 e 7 (5 punti).
• 117 – divisibile solo per 3 (2 punti).

In conclusione, utilizzando il mcm di 3 e 7 (21) come metodo rapido per identificare i numeri che guadagnano il punteggio massimo, possiamo facilmente determinare che 168 è il numero che vale di più tra quelli elencati ✅

Esercizio con teoria dei numeri

Il minimo comune multiplo di due numeri è 72 e il loro massimo comune divisore è 12. Quali sono questi due numeri?

• 12 e 36
• 24 e 72
• 2 e 72
• 12 e 48
• 24 e 36

Per risolvere questo problema, possiamo utilizzare la relazione tra il Minimo Comune Multiplo (mcm) e il Massimo Comun Divisore (MCD) di due numeri, che è data dalla formula:

mcm (a, b) * MCD (a, b) = a * b

Questa formula indica che il prodotto di due numeri è uguale al prodotto del loro MCM e MCD.
Mette in relazione due concetti chiave della fattorizzazione (trovare i fattori di un numero) e della divisibilità (determinare se un numero è divisibile per un altro).
È un esempio di come le proprietà più profonde dei numeri possano essere esplorate attraverso operazioni aritmetiche di base 📚

Dato che il mcm è 72 e il MCD è 12, possiamo sostituire questi valori nella formula e risolvere per trovare i numeri a e b 👉 72 * 12 = a * b 👉 864 = a * b

Ora possiamo esaminare le coppie di numeri fornite per vedere quale coppia soddisfa questa equazione.
Per esempio, la coppia (12, 36) 👉 mcm(12, 36) = 36; MCD(12, 36) = 12 👉 12 * 36 = 432.
Quindi, questa coppia non soddisfa l’equazione.

L’unica coppia che soddisfa la relazione tra mcm e MCD con i valori dati è la coppia (24, 36) ✅

Ripassa matematica tra problemi e teoria

Preparare il test di ammissione può essere molto stancante a livello fisico ed emotivo: saranno molti i momenti di sconforto in cui vorrai gettare i libri e piangere fino al giorno della prova (non farlo, non funziona 🥲).

Avere un piano di studio e un calendario con giorni e orari prestabiliti in cui dividere le materie ti aiuterà a rimanere focalizzato su quello che fai.

Non dimenticare l’importanza della costanza: per superare il test è fondamentale essere costanti sia nello studio, sia nella pratica.

Familiarizzare con la struttura delle domane, riconoscere lo schema e abituarsi a mantenere la concentrazione sotto pressione mentre il tempo scorre è l’ideale per superare il test.

Insomma, la pratica ti aiuta molto nella preparazione.
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