Cos’è un’identità in matematica

Un’identità è un’uguaglianza sempre vera per ogni valore delle variabili nel dominio in cui ha senso. In parole: è vera “per ogni x appartenente a ℝ”, tenendo conto di eventuali condizioni di esistenza.

Esempi di identità (forma testuale compatibile):

• (x − y)^2 = x^2 − 2xy + y^2
• a(b + c) = ab + ac
• (x + 1)/(x − 2) = 1 + 3/(x − 2) con condizione: x != 2
• sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Cos’è un’equazione

Un’equazione è un’uguaglianza che risulta vera solo per alcuni valori, detti soluzioni.

Tipi:

• determinata: ha una o più soluzioni (es. 2x − 6 = 0 → x = 3)
• impossibile: non ha soluzioni (es. 2x + 1 = 2x − 3 → 1 = −3, falso)
• indeterminata: vera per tutti i valori ammessi (es. 3(x − 2) = 3x − 6 → 0 = 0)

Differenza tra identità ed equazione

• identità: sempre vera nel dominio, insieme soluzione = dominio
• equazione: vera solo per alcuni valori, insieme soluzione ⊂ dominio
• esempio:
  • identità → (x − 3)(x + 3) = x^2 − 9
  • equazione → x^2 − 9 = 0 → x = ±3

Identità come equazioni ed equazioni senza incognite

• un’identità può essere vista come un’equazione indeterminata (x = x).
• durante le risoluzioni si può arrivare a:
  • 0 = 0 → indeterminata
  • 1 = 2 → impossibile

Come riconoscere se un’uguaglianza è un’identità

1. definisci il dominio (no divisioni per 0, no radici pari di numeri negativi, ecc.)
2. semplifica i membri con proprietà note (distributiva, raccoglimento, prodotti notevoli)
3. confronta i membri finali
4. evita di “dimostrare” provando solo pochi numeri

Esercizi interattivi ed esempi svolti passo passo

Esempio 1. (x − 3)(x + 3) = x^2 − 9
Sviluppo a sinistra: x^2 + 3x − 3x − 9 = x^2 − 9. Coincidono per ogni x in R → identità.

Esempio 2. (x + 1)/(x − 2) = 1 + 3/(x − 2) con x != 2
Somma a destra: (x − 2 + 3)/(x − 2) = (x + 1)/(x − 2). Coincidono per ogni x con x != 2 → identità.

Esempio 3. x^2 − 9 = 0
Fattorizza: (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 oppure x = −3 → equazione determinata.

Esempio 4. 2(x + 1) = 2x + 2
Riduci: 2x + 2 = 2x + 2 → 0 = 0 → indeterminata.

Esempio 5. 2(x + 1) = 2x + 3
Riduci: 2x + 2 = 2x + 3 → 2 = 3 → impossibile.

Errori comuni da evitare

• dimenticare le condizioni di esistenza quando compaiono frazioni, radici o logaritmi
• confondere prove numeriche parziali con una dimostrazione
• dividere per un’espressione che può valere 0 senza dichiararlo
• scambiare identità ed equazioni nei passaggi finali (0 = 0 vs 1 = 2)

Esercizi proposti

1. dimostra che a^2 − b^2 = (a − b)(a + b) è un’identità
2. verifica se 2x/(x − 1) = 2 + 2/(x − 1) è un’identità e indica il dominio
3. classifica 3x − 9 = 3(x − 3)
4. risolvi 5(x − 1) = 5x − 7

Soluzioni rapide:

1) identità. 2) identità per x != 1. 3) identità. 4) impossibile.

Conclusione

Un’identità è vera per ogni x appartenente a ℝ nel dominio ammesso, un’equazione è vera solo per alcuni valori chiamati soluzioni.

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Cos’è il massimo comune divisore (MCD)

Il massimo comune divisore, abbreviato in MCD o m.c.d., è il numero più grande che divide esattamente due o più numeri.
In altre parole, è il divisore comune di valore massimo.

Esempio
I divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18.
I divisori di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
I divisori comuni sono 1, 2, 3, 6 → quindi MCD(18,24) = 6.

Cos’è il minimo comune multiplo (mcm)

Il minimo comune multiplo, abbreviato in mcm o m.c.m., è il più piccolo multiplo che due o più numeri hanno in comune.

Esempio
I multipli di 6 sono 6, 12, 18, 24, 30…
I multipli di 8 sono 8, 16, 24, 32…
Il primo multiplo comune è 24 → quindi mcm(6,8) = 24.

Come calcolare MCD e mcm con la scomposizione in fattori primi

Il metodo più usato per trovare MCD e mcm è la scomposizione in fattori primi.
Ecco i passaggi:

1. Scomponi ogni numero nei suoi fattori primi.
2. Per il MCD: prendi i fattori comuni con l’esponente più piccolo.
3. Per il mcm: prendi i fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande.

Esempio
Calcoliamo MCD(48,60) e mcm(48,60):

• 48 = 2⁴ × 3
• 60 = 2² × 3 × 5

MCD = 2² × 3 = 12
mcm = 2⁴ × 3 × 5 = 240

Esempi di esercizi svolti su MCD e mcm

Vediamo altri esempi utili:

• MCD(42,56)
  42 = 2 × 3 × 7
  56 = 2³ × 7
  MCD = 2 × 7 = 14
• mcm(15,20)
  15 = 3 × 5
  20 = 2² × 5
  mcm = 2² × 3 × 5 = 60
• MCD(36,48,60)
  36 = 2² × 3²
  48 = 2⁴ × 3
  60 = 2² × 3 × 5
  MCD = 2² × 3 = 12

Differenza tra MCD e mcm

• Il MCD è un divisore → quindi il risultato è più piccolo dei numeri dati.
• Il mcm è un multiplo → quindi il risultato è più grande dei numeri dati.

Un modo semplice per ricordarlo:
MCD = numero che “sta dentro”
mcm = numero che “contiene”

Applicazioni pratiche di MCD e mcm

• Con le frazioni:
  • il MCD si usa per semplificare le frazioni;
  • il mcm si usa per trovare un denominatore comune nelle addizioni e sottrazioni.
• Nella vita quotidiana:
  • per dividere oggetti in parti uguali senza avanzi (MCD);
  • per calcolare intervalli o eventi che si ripetono ciclicamente (mcm).

Conclusione

Il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) sono strumenti essenziali della matematica di base.
Saperli calcolare con la scomposizione in fattori primi, ma anche riconoscerli intuitivamente, permette di risolvere in modo più rapido esercizi e problemi reali.

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