Puoi calcolare il perimetro delle principali figure piane e delle basi dei solidi:

• Rettangolo → P = 2 · (base + altezza)
• Quadrato → P = 4 · lato
• Triangoli: scaleno, isoscele, equilatero, rettangolo (con ipotenusa calcolata dal teorema di Pitagora)
• Rombo → da lato oppure da diagonali (P = 2√(d₁² + d₂²))
• Parallelogramma / Romboide → P = 2 · (a + b)
• Deltoide (Aquilone) → P = 2 · (a + b)
• Trapezio → scaleno, isoscele, rettangolo
• Cerchio e Semicerchio → C = 2πr oppure C = πr + 2r
• Poligoni regolari → pentagono, esagono, o qualsiasi n-lati (P = n · lato)
• Quadrilatero e Poligono generico → somma di tutti i lati
• Basi dei solidi: cubo, parallelepipedo rettangolo, cilindro, prisma regolare

Puoi inserire le misure con la tua unità di misura (cm, m, mm, ecc.) e attivare l’opzione “Mostra formula e sostituzioni” per visualizzare il procedimento passo-passo.
È ottimizzato per ricerche come “come si calcola il perimetro del rettangolo”, “perimetro del triangolo isoscele”, “perimetro del trapezio” o “calcolo perimetro cerchio”, offrendo risposte chiare, rapide e precise anche nei casi particolari (rombo con diagonali, trapezio isoscele o rettangolo, triangolo rettangolo).

Calcolatore perimetro

Formule e spiegazioni dei perimetri delle principali figure geometriche piane

Rettangolo → P = 2 · (base + altezza)

Il rettangolo ha quattro lati, con i lati opposti uguali e paralleli. Il perimetro si ottiene sommando due volte la base e due volte l’altezza, cioè P = 2 × (base + altezza). È una delle figure più comuni nella geometria piana.

Quadrato → P = 4 · lato

Il quadrato è un caso particolare di rettangolo in cui tutti i lati sono uguali. Il suo perimetro si calcola moltiplicando la lunghezza del lato per quattro: P = 4 × lato. Ha anche tutti gli angoli retti.

Triangoli (scaleno, isoscele, equilatero, rettangolo)

Il perimetro di qualsiasi triangolo si ottiene sommando le lunghezze dei tre lati. Nei triangoli particolari:

• Scaleno → tutti i lati diversi.
• Isoscele → due lati uguali.
• Equilatero → tre lati uguali, quindi P = 3 × lato.
• Rettangolo → un angolo di 90°, e l’ipotenusa può essere trovata con il Teorema di Pitagora: c² = a² + b².

Rombo → P = 4 · lato oppure P = 2√(d₁² + d₂²)

Il rombo ha quattro lati uguali e diagonali che si tagliano perpendicolarmente. Il perimetro si calcola di solito con P = 4 × lato, ma se si conoscono le diagonali si può usare P = 2√(d₁² + d₂²), dove d₁ e d₂ sono le diagonali.

Parallelogramma / Romboide → P = 2 · (a + b)

Nel parallelogramma i lati opposti sono uguali e paralleli. Il perimetro è la somma dei lati adiacenti moltiplicata per due: P = 2 × (a + b). È simile al rettangolo, ma gli angoli non sono necessariamente retti.

Deltoide (Aquilone) → P = 2 · (a + b)

Il deltoide è formato da due coppie di lati consecutivi uguali. Il suo perimetro si trova con P = 2 × (a + b), dove a e b sono le lunghezze dei lati diversi. Spesso è associato a figure simmetriche come l’aquilone.

Trapezio → scaleno, isoscele, rettangolo

Il trapezio ha una coppia di lati paralleli (le basi). Il perimetro si calcola sommando tutti e quattro i lati. A seconda dei lati obliqui, può essere scaleno (tutti diversi), isoscele (lati obliqui uguali) o rettangolo (uno dei lati perpendicolare alle basi).

Cerchio e Semicerchio → C = 2πr oppure C = πr + 2r

Nel cerchio, la circonferenza è data da C = 2πr, dove r è il raggio.
Nel semicerchio, la lunghezza totale comprende metà circonferenza più il diametro, quindi C = πr + 2r.

Poligoni regolari → P = n · lato

Un poligono regolare ha tutti i lati e gli angoli uguali. Il perimetro si ottiene moltiplicando il numero dei lati per la lunghezza di ciascun lato: P = n × lato. Esempi: pentagono (5 lati), esagono (6 lati), ecc.

Quadrilatero o Poligono generico → somma di tutti i lati

Per le figure irregolari, come quadrilateri non particolari o poligoni con lati disuguali, il perimetro si trova semplicemente sommando le lunghezze di tutti i lati, senza formule specifiche.

Basi dei solidi: cubo, parallelepipedo rettangolo, cilindro, prisma regolare

Nei solidi geometrici, il perimetro della base serve per calcolare lo sviluppo o la superficie laterale.

• Cubo → base quadrata.
• Parallelepipedo → base rettangolare.
• Cilindro → base circolare.
• Prisma regolare → base poligonale regolare (triangolo, pentagono, ecc.).

Conclusione

Conoscere le formule dei perimetri delle figure geometriche piane è fondamentale per affrontare con sicurezza esercizi di geometria e problemi di matematica applicata. Ogni figura ha caratteristiche specifiche, ma il concetto di base resta lo stesso: il perimetro rappresenta la misura del contorno della figura. Comprendere non solo le formule, ma anche la logica che le collega alle proprietà dei lati e degli angoli, permette di risolvere in modo consapevole e rapido qualsiasi esercizio, ponendo le basi per lo studio delle aree e dei solidi geometrici.

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Per questo, nei prossimi scroll vediamo le informazioni necessarie per comprendere le caratteristiche del prisma e risolvere i quiz sull’argomento.

Scopriremo nel dettaglio quali sono le principali caratteristiche di quello che genericamente viene definito come un poliedro con basi formate da poligoni congruenti.

Inizia a sembrare complicato? Non temere, è molto più semplice di quanto tu possa immaginare.

Che cos’è e a cosa serve un prisma

Scusa il tecnicismo ma l’unico modo per definire il prisma è quello di indicarlo come solido poliedrico.
Infatti si tratta di un oggetto tridimensionale formato da facce poligonali che hanno delle caratteristiche particolari.

Innanzitutto, la base inferiore e superiore è composta da due poligoni congruenti, che sono disposti su piani paralleli (per intenderci, i poligoni sono figure piane che delimitano uno spazio con almeno 3 lati)

Le basi possono avere qualsiasi forma: possono essere triangoli, quadrati, rettangoli, pentagoni, ecc. Esse sono sempre uguali tra di loro e la distanza tra quella superiore e inferiore è detta altezza.
Tuttavia, quest’ultima non sempre coincide con lo spigolo verticale.

Le facce laterali collegano le basi tra loro. Se ti immagini un prisma come una scatola, le basi sarebbero il fondo e il coperchio della scatola, mentre le facce laterali sarebbero i lati che avvolgono la scatola.

Ora, la forma delle facce laterali dipende dalle basi e dalla direzione in cui si estende l’altezza del prisma:

1. Altezza del prisma perpendicolare alle basi – in questo caso le facce laterali saranno rettangoli.
   Il prisma quindi è retto. Per esempio, se le basi sono dei triangoli, avrai un prisma triangolare retto; se le basi sono dei rettangoli, avrai un parallelepipedo rettangolo.
   
2. Altezza del prisma non perpendicolare alle basi – in questo caso le facce laterali saranno parallelogrammi. Il caso prisma è obliquo.

Il concetto chiave da ricordare è che le facce laterali del prisma connettono le basi e sono sempre parallele tra loro.
Inoltre, ogni faccia laterale ha per lati due spigoli laterali (gli spigoli verticali del prisma) e due lati delle basi.

Il volume del prisma

Il volume del prisma può essere calcolato con una sola formula e non è necessario fare delle differenze per tipologia, come vedremo tra poco per quanto riguarda le varie superfici.

Per arrivare al risultato del volume, hai bisogno di due grandezze:

1. La superficie di base, intesa come somma dell’area delle due basi
2. L’altezza, ossia la distanza tra le basi

Quindi il volume del prisma è dato dalla moltiplicazione tra la superficie di base:

V = A_base ​× h

Chiaramente questa formula ti permette anche di ricavare delle formule inverse per poter calcolare.
Per ottenerle devi solo fare dei semplici passaggi matematici, per cui, la superficie di base è il rapporto tra il volume e l’altezza (A_base = V / h), mentre l’altezza è il rapporto tra volume e superficie di base (h = V / A_base )

Oltre il volume: il calcolo delle superfici del prisma

Per rendere più semplice il calcolo del volume del prisma bisogna considerare che questa figura geometrica non ha una sola superficie, ma bisogna differenziare tra superficie di base e superficie laterale.

Il calcolo della superficie di base è molto semplice e dipende dalla tipologia di figura che forma la base. Se il prisma è regolare, le figure geometriche su cui effettuare il calcolo della superficie potrebbero essere triangoli equilateri o quadrati.

Nel caso del quadrato semplicemente basterà moltiplicare per se stesso il lato mentre per il triangolo equilatero la formula è A = (b x h) / 2

In generale, per i poligoni regolari l’area di base può essere calcolata moltiplicando il perimetro per metà apotema. Da ricordare che per apotema si indica il raggio della circonferenza inscritta. In pratica è la distanza tra il centro della circonferenza e il lato.
Corrisponde al raggio perché sappiamo che la distanza di un punto da una retta si calcola attraverso il segmento che congiunge il punto e il lato in questione, assicurandosi che siano perpendicolari tra di loro.

Una volta ottenuta l’area di base per conoscere la superficie di base del prisma sarà sufficiente moltiplicare il risultato per 2 in quanto ci sono due basi.

Anche la superficie laterale è un argomento più semplice a farsi che a dirsi. Occorre, però, fare una differenziazione tra le varie tipologie di prisma.

Nel caso in cui la figura in questione sia un prisma obliquo, occorre ricordare che le facce laterali sono dei parallelogrammi.
Dunque è sufficiente rispolverare la formula che permette di calcolare l’area di un singolo parallelogramma, ossia base per altezza (un classico)

Se invece stiamo parlando di prismi retti, le superfici laterali sono dei rettangoli e quindi è sufficiente moltiplicare tra loro i due lati.

Invece, se le basi sono composte da figure piane regolari (come il quadrato), il prisma è regolare e il calcolo delle superfici e del volume è ancora più immediato.

Per calcolare velocemente l’area laterale di un prisma, moltiplica il perimetro della base per l’altezza. Se il prisma è regolare o retto, puoi calcolare l’area di una faccia e poi moltiplicarla per il numero totale di facce.

Area laterale del prisma: A_laterale​= P_base​ × h

Dove P_base​ è il perimetro della base.

Una volta ottenuto il valore della superficie laterale, possiamo calcolare quella totale utilizzando la seguente formula:

Area totale del prisma: A_totale​ = A_laterale ​+ 2 × A_base

​Tale operazione fornisce la somma delle aree di tutte le superfici esterne del prisma

Le principali tipologie di prisma e il calcolo di superfici e volume

Come abbiamo visto, il prisma può essere definito in vari modi, tenendo conto di alcune sue caratteristiche.

Una prima differenziazione può essere fatta rispetto a due principali categorie, ossia i prismi obliqui e quelli retti. Volendo essere ancora più precisi, possiamo parlare anche di una terza categoria formata dai prismi regolari.

Prismi retti

Facendo riferimento alla geometria piana, quando parliamo di rettangolo e di triangolo retto, la caratteristica che tutti ricordano riguarda la presenza degli angoli retti ossia di angoli di 90 gradi che si formano nei punti di congiungimento dei vari lati.

Lo stesso vale anche per la geometria solida e in particolare per i prismi retti. Si tratta, dunque, di figure tridimensionali con due basi congruenti e tutte le facce laterali rette rispetto alle basi, ossia formano un angolo di 90 gradi.

Molto più semplice di quanto si possa pensare. Tra l’altro, la differenza si nota anche dal punto di vista visivo. Volendo essere più precisi, le facce laterali dei prismi retti sono sempre dei rettangoli.

Prismi regolari

La differenza con il prisma retto riguarda le basi. Dunque, c’è sempre il concetto che le facce laterali sono disposte su piani retti rispetto a quelli delle basi e quindi formano angoli di 90 gradi.

In aggiunta queste basi sono anche dei poligoni regolari come un quadrato, un pentagono regolare oppure un triangolo equilatero. In pratica, è necessario che la base abbia tutti i lati e gli angoli uguali

Prismi obliqui

La differenza riguarda il fatto che le facce laterali sono sostanzialmente dei parallelogrammi e si presentano inclinate rispetto alle due basi.

Tale inclinazione può complicare il calcolo dell’area laterale poiché l’altezza delle facce laterali non corrisponderà all’altezza del prisma. In pratica, tutti gli spigoli non avranno la stessa lunghezza e questo comporta che la figura si presenti obliqua.

Le formule

I calcoli e i procedimenti da seguire per calcolare l’area totale e il volume rimangono gli stessi, indipendentemente dal fatto che il prisma sia retto, regolare o obliquo.

Tuttavia, la modalità con cui calcoli l’area della base o il perimetro può variare in base alla forma specifica del prisma.

Un’altra formula chiave da ricordare è quella della relazione di Eulero: sommando il numero delle facce e dei vertici, otterrai il numero degli spigoli + 2.

La formula è:

F + V = S + 2

Dove F rappresenta il numero delle facce, V il numero dei vertici e S il numero degli spigoli del prisma.

Per fare un esempio, nel caso di un parallelepipedo:

• F = 6 (2 basi e 4 facce laterali)
• V = 8
• S = 12 (4 per ogni base e 4 spigoli laterali).

Sostituendo questi valori nella formula di Eulero: 6 + 8 = 12 + 2 14 = 14

Quindi, la somma del numero delle facce e dei vertici è effettivamente uguale al numero degli spigoli più 2

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Quanto visto è super utile per ripassare gli argomenti più importanti di matematica e geometria, ma ricorda che tale argomento richiede di mettere in pratica le tue abilità di ragionamento.

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Se la matematica non è tra le tue materie preferite e fai fatica a comprenderla… mi dispiace, ti capisco
Per questo prima di addentrarci nel mondo dei piani cartesiani risponderemo alle seguenti domande:

• Cos’è una retta?
• Come scriverla in linguaggio matematico?
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L’unica risposta che posso darti già ora è che dovrai SEMPRE avere a che fare con la matematica nella vita, soprattutto se vuoi intraprendere un percorso universitario nell’ambito scientifico

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Per riuscire a capire gli argomenti di matematica e geometria il segreto è immaginarli nella realtà: fai quanti più esempi reali possibili e, se proprio non ti riesce, immaginali come se fossero dei videogame con specifiche dinamiche di base e regole da seguire

Applicheremo questo piccolo tip ai temi che vedremo nelle prossime righe. Quindi let’s go, siamo pronti ad affrontare il primo livello di Geometria: l’equazione della retta passante per due punti

Retta passante per due punti: coordinate e piano cartesiano

Prima di parlare di rette, bisogna capire il contesto in cui ci troviamo e come lavorare con esso.

Supponiamo di trovarci in un punto preciso (che chiameremo Punto A) di un infinito e il nostro amico si trova nel Punto B dello stesso campo.

Il campo infinito è il piano cartesiano e i suoi riferimenti sono l’asse delle ascisse e l’asse delle ordinate.

Ogni punto del piano in cui ci troviamo è unico ed è identificabile tramite le proprie coordinate.

Noi ci troviamo quindi nel Punto A di coordinate (x1, y1) e il nostro amico nel Punto B di coordinate (x2, y2); dove x1 e x2 sono le coordinate orizzontali, mentre y1 e y2 quelle verticali.

Retta

Una retta è un insieme infinito di punti allineati, tali da essere disposti lungo una direzione specifica. Essa non presenta né spessore né larghezza.

La retta viene rappresentata su un sistema di riferimento cartesiano tramite le coordinate (x, y).
Possiamo scrivere l’equazione della retta in due modi: implicito o esplicito

• FORMA IMPLICITA

L’equazione deve essere espressa tramite un polinomio di primo grado, a sinistra vanno le incognite x e y, a destra lo zero.

ax + by + c = 0

• FORMA ESPLICITA

L’equazione va espressa in favore della variabile y.

Il parametro m esprime il coefficiente angolare della retta, ovvero la sua pendenza rispetto all’asse x.

Il parametro q, invece, esprime l’ordinata in corrispondenza dell’origine (y=0).

y = mx + q

Relazione tra forma implicita ed esplicita

Prendendo l’equazione della retta implicita, supponendo che b ≠ 0 , la scriviamo nel seguente modo:

(a/b)x + y + (c/b) = 0 y = – (a/b)x – (c/b)

Questa è già la forma esplicita della retta in quanto:

m = -(a/b)
q = – (c/b)

Di conseguenza, il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q sono definiti se e soltanto se b ≠ 0.

Retta passante per l’origine

Ma come scrivere una retta passante per l’origine? Beh, molto semplice!

La retta passante per l’origine è una semplice retta con parametro q = 0.
La sua equazione in forma esplicita sarà, quindi:

y = mx

Come disegnare una retta?

Ti sarà capitato di dover rappresentare una retta nel piano cartesiano, ma, se non è accaduto, sicuramente ti capiterà in futuro anche con altri enti geometrici più complicati (parabole, per esempio ).

Ovviamente nel caso di rette orizzontali o verticali, la rappresentazione è immediata.

Come hai potuto vedere, è più facile ed immediato lavorare con la forma esplicita della retta.

Per cui bisogna prendere la forma esplicita della retta da rappresentare:

y = mx + q

e assegnare alla x dei valori arbitrari (devono essere dei valori comodi, per esempio 0 e 1) e calcolare le rispettive ordinate:

y1 = mx1 + q
y2 = mx2 + q

Ora basta prendere il piano cartesiano e sostituire i punti (x1, y1) e (x2, y2) trovati e tracciare la retta che li congiunge prolungandola all’infinito con i trattini (ricorda: è una retta, non un segmento).

Equazione della retta passante per due punti

Per determinare l’equazione della retta che passa per due punti di cui conosciamo le coordinate basta applicare la seguente formula:

(x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1)

Essa, però, non si applica quando i punti sono allineati orizzontalmente o verticalmente perché questi sono dei casi speciali.

Punti allineati verticalmente

Se due punti sono allineati verticalmente e dunque x1 = x2, l’equazione della retta che li congiunge sarà

x = x1

Punti allineati orizzontalmente

Se due punti sono allineati orizzontalmente e quindi y1 = y2, l’equazione della retta che li congiunge sarà

y = y1

Retta passante per due punti: ripassiamo il Punto Medio

Potrebbe capitare che in qualche esercizio ti venga richiesto di calcolare il punto medio della retta.

Per ottenere il valore del punto medio della retta passante per due punti date le coordinate, si applica la seguente formula:

x_medio = (x2 – x1) / 2
y_medio = (y2 – y1) / 2

Le coordinate del punto medio saranno: P_medio = (x_medio, y_medio)

Ora che con la teoria dovremmo aver finito, tutto sarà più semplice e chiaro con degli esempi.

Equazione della retta passante per due punti: alcuni esercizi

1. Scrivi l’equazione della retta passante per la seguente coppia di punti: A(2; 3), B(4; 1).

Svolgimento:

Applichiamo la formula della retta passante per due punti sostituendo i valori dati dalla traccia

(x – 2)/(4 – 2) = (y – 3)/(1 – 3)

e svolgiamo

(x – 2)/2 = (y – 3)/-2 x/2 – 1 = -y/2 + 3/2

L’equazione della retta cercata è: y = – x + 5

2. Scrivi l’equazione della retta passante per la seguente coppia di punti: A(2; 5), B(3; -2).

Svolgimento:

Applichiamo la formula della retta passante per due punti sostituendo i valori dati dalla traccia

(x – 2)/(3 – 2) = (y – 5)/(- 2 – 5)

e svolgiamo

x – 2 = (y – 5) / (-7)

L’equazione della retta cercata è: y = -7x + 19

3. Supponiamo che tu sia un ingegnere civile incaricato della progettazione di una strada che colleghi la Città 1 e la Città 2, le quali hanno le seguenti coordinate:

• Città 1 ( 47.7123° ; 74.0061° )
• Città 2 ( 34.0056° ; 118.2458° )

L’obiettivo è di progettare la strada più breve possibile che conduca dalla Città 1 alla Città 2 e viceversa.

Svolgimento:
Immaginiamo le coordinate come dei punti sul nostro piano cartesiano e calcoliamo l’equazione della retta come dalla formula:

1. ( x – 47.7123 ) / ( 34.0056 – 47.7123 ) = ( y – 74.061 ) / ( 118.2458 – 74.0061 )
2. ( x – 47.7123 ) / ( -13.7067 ) = ( y – 74.061 ) / ( 44.2397 )
3. ( x – 47.7123 ) ( – 3,2276 ) = y – 74.061
4. – 3.2276 x + 153.9960 = y – 74.061

L’equazione della strada tra le due città è la seguente: y = -3.2276 x + 228.057

4. Si deve progettare una funiculare che collega due stazioni sulla montagna.

Il progetto deve essere tale che il collegamento sia il più breve possibile.

Le coordinate delle due stazioni sono:

• A (20; 1000)
• B (80; 200)

L’obiettivo è progettare il percorso ottimale per la funiculare tra le stazioni A e B.

Svolgimento:
Applichiamo la formula data

1. (x – 20) / (80 – 20) = (y – 1000) / (200 – 1000)
2. (x – 20) / 60 = (y – 1000) / (-800)
3. (-13,333) (x – 20) = y – 1000
4. -13,333x + 266,666 = y – 1000

L’equazione cercata è: y = -13,333x 1266,666

Ripassa matematica per i test di ammissione

Come abbiamo visto l’equazione della retta passante per due punti mette la base per l’apprendimento di nuove nozioni di geometria. Insomma, è uno di quegli argomenti che non si può non conoscere… soprattutto se devi sostenere un test di ammissione per accedere all’università

Se vuoi metterti alla prova con qualche esercizio, ti lascio un video dedicato

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